SRP i matematik og filosofi om logik

Introduktion

Dette projekt omhandler formel logik og aksiomatiske systemer. Særligt arbejdes der med Euklidisk geometri som et historisk yderst vigtigt eksempel - dels på et aksiomatisk system, dels på bevisførelse inden for et sådant system. Formel logik berøres ikke normalt i matematikundervisningen i gymnasiet. Projektet er derfor forholdsvis forudsætningsfrit. Den selvstændige tilegnelse af denne forholdsvis abstrakte del af matematik vil dog kræve en vis abstraktionsevne og fortrolighed med symbolsprog.

Projektbeskrivelse 

Overvej følgende spørgsmål: ”Hvis $n$ er lige, så er $n+1$ et primtal” – for hvilke værdier af $n$ mellem 1 og 10 er dette sandt? Dette er naturligvis et matematisk spørgsmål i det omfang, at man skal kende nogle matematiske grundbegreber for at forstå det. Men samtidig kan det betragtes som et rent logisk udtryk der udtaler sig om sammenhængen mellem to deludtryk - såkaldte prædikater - som vi kan betegne med $p(n)$ og $q(n)$, altså:

$p(n):\ n$ er lige.
$q(n):\ n+1$ er primtal.

Tillægger vi $n$ en bestemt værdi, fx $n=2$, får vi to udsagn, $p(2)$ og $q(2)$. I almindelighed kan udsagn være enten sande eller falske. I dette tilfælde er $p(2)$ og $q(2)$ begge sande, da $n=2$ er lige, og $n+1=2+1=3$ er primtal. Indenfor formel logik udtrykkes prædikater og udsagn ved hjælp af symboler. Prædikatet i dette konkrete eksempel kan udtrykkes som $p(n)\Rightarrow q(n)$, hvor den såkaldte implikationspil $\Rightarrow$ kan læses som "medfører". En implikation er et udtryk som siger, at en given præmis medfører en given konklusion. I dette tilfælde er præmissen $p(n)$, og konklusionen er $q(n)$. Om et udsagn er sandt eller ej, kan undersøges ved at opstille en sandhedstabel. Det vil nok være overraskende for de fleste, at udsagnet $p(n)\Rightarrow q(n)$ i dette konkrete tilfælde er sandt, hvis $n$ er et hvilket som helst tal mellem 1 og 10 på nær 8. Mange vil nok intuitivt vil mene, at det må være falsk for alle ulige $n>1$. Forvirringen opstår fordi en implikation faktisk altid er sand, hvis præmissen er falsk - uanset om konklusionen $q(n)$ er sand eller falsk! Så hvis $n$ er ulige, er $p(n)$ falsk, og dermed er $p(n)\Rightarrow q(n)$ automatisk sand. Dette gælder uafhængigt af om $n+1$ er primtal eller ej. Sandhedstabellen for en implikation ser mere præcist således ud:

I projektet kan det undersøges nærmere, hvad der mere præcist menes med prædikater og udsagn matematisk og filosofisk set. Særligt lægges op til at redegøre for aksiomsystemet i Euklids Elementer, gennemgå et eller flere af hans beviser og/eller evt. selv opstille et bevis for en given sætning på basis af aksiomerne. Her følger nogle flere spørgsmål til inspiration:

• Hvad er forskellen mellem formel logik og intuitionistisk forståelse af gyldigheden af et logisk udsagn?
• Hvad er et aksiomsystem, og hvordan man argumenterer for, at et udsagn er sandt inden for et aksiomatisk system?
• Hvad forstås ved et sandt udsagn - i matematik, i filosofi og i almindelig sprogbrug? Hvad forskellen på sandhed og logik?
• Hvordan har brugen af logik udviklet sig?
• Hvad forstår man ved fuldstændige og ved konsistente aksiomatiske systemer?

Forskellige matematiske aspekter kan inddrages i større eller mindre grad:

• Gödels ufuldstændighedssætninger og løgnerparadokset.
• ZFC som det aksiomatiske system den moderne matematik bygger på.
• De reelle tal som aksiomatisk system.

En række filosofiske aspekter kan ligeledes inddrages:

• Thomas Aquinas' eller Descartes' beviser for Guds eksistens.
• Aristoteles’ logiske grundregler.
• Forskellen mellem induktive og deduktive slutninger.
• Forskellen mellem logisk sandhed og "almindelig" sandhed; visse argumenter er logisk gyldige, men svære at acceptere som værende sande eller brugbare.
• Poppers paradoks.

Materialer

Carstensen, J.: ”Euklidisk Geometri”, Forlaget Systime, 2002.

Carstensen, J.: “Om matematik”, Forlaget Systime, 2002.

Collin, F.:  ”Derfor. Bogen om argumentation”, Hans Reitzels Forlag, 1987.

Glunk, C. m.fl.: ”QED”, Forlaget Gyldendal, 2006.

Hendricks, Vincent F.: “Moderne elementær logik”, Høst og Søns forlag, 2002.

Janussen, K.: ”Det gode argument i matematik”, Forlaget Systime, 2007.

Lützen, Jesper: “Diskrete Matematiske metoder” (https://noter.math.ku.dk/dis2019.pdf).

Nissen, K.: ”På søndagstur i den logiske have”, Forlaget Abacus, 1991.

Topsøe, F.: ”Introduktion til abstrakt matematik” , Matematisk Afdeling, 2002 (https://noter.math.ku.dk/maty.pdf).

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html (Engelsk oversættelse af Euklids Elementer med kommentarer, bl.a. om den logisk struktur af hver bog).