SRP i matematik og kemi om kvantitativ analyse

Introduktion

Ved en kvantitativ kemisk analyse forstår man en undersøgelse af et kemisk grundstof eller en kemisk forbindelse i en stofprøve, der viser hvor stort indholdet af denne er i den pågældende prøve. I dette oplæg bestemmes indholdet af nitrat i for eksempel vandprøver eller grøntsager. De opnåede måleresultater behandles med forskellige statistiske tests. Man kan for eksempel undersøge om nitratindholdet i en vandprøver ligger under grænseværdien på 50 mg nitrat pr. liter vand ved brug af t-test. Eventuelle outliers kan undersøges med Dixons Q-test. Man kan også sammenligne to gennemsnit for to forskellige metoder ved brug af t-test og F-test. Endelig er det også muligt at vurdere en målemetodes nøjagtighed ved brug af statistiske tests. Man kan for eksempel undersøge den mest pålidelige målemetode af to eller flere udvalgte (med hensyn til nitratkoncentration kan man sammenligne nitratstrips, ionselektiv nitratelektrode, spektrofotometri og eventuelt Kjeldahls metode). Måleusikkerheder kan typisk  beskrives ved normalfordelingen med god tilnærmelse. Ved tests af måleusikkerhed er det nødvendigt at udføre de samme målinger af den samme størrelse mange gange.

Projektbeskrivelse

Den såkaldte t-test bygger på modeller for normalfordelte observationer. Normalfordelingens sandsynlighedsteoretiske egenskaber giver således denne form for test et solidt matematisk grundlag. Ved en statistisk test er de teoretisk værdier af normalfordelingens parametre (middelværdi og spredning) ikke kendt, men må estimeres ud fra observationerne. Det generelle princip i statistiske test består i at man opstiller en hypotese, nemlig at en givet matematisk model har frembragt observationerne Gennem tests får man svar på om denne hypotese er holdbar og med hvilken sikkerhed.

Man kan undersøge om et sæt af observationer er normalfordelte ved brug af QQ-plots. Man kan alternativt benytte $\chi^2$-test til at teste om en observeret fordeling kan antages at være lig med en teoretisk fordeling.

Nitratindholdet i vandprøver kan som nævnt måles på flere forskellige måder. Udgangsmetoden i dette studieretningsprojekt vil imidlertid være ved brug af en ionselektiv elektrode: nitratelektroden. Nitratelektroden giver en god nøjagtighed så længe nitratkoncentrationen ikke er for lille. Eksperimentelt begynder man med at bestemme en standardkurve for nitratelektroden, hvorefter man ved brug af denne kan bestemme nitratindholdet i forskellige vandprøver. 

Man kan alternativt måle nitratkoncentrationen ved brug af spektrofotometri ved at reducere nitraten til nitrit. Nitrit er imidlertid en farveløs ion, og man må derfor lade denne reagere fuldstændigt med for eksempel sulfanilamid til diazoniumionen. Tilsættes nu koblingsreagenset N-(1-Naphtyl)ethylendiamin, dannes det rødviolette azofarvestof. Herefter kan der udføres sædvanlige spektrofotometriske undersøgelser. Nitratkoncentrationen kan bestemmes som forskellen mellem nitritindholdet i en prøve hvor nitraten ikke er reduceret til nitrit, og en prøve hvor nitraten er reduceret til nitrit.

Herunder nævnes en række elementer der kan indarbejdes i en problemformulering:

• Gør kort rede for nitrogens kredsløb i naturen. Du kan for eksempel komme ind på forekomster i jordlagene, udvaskning og forsuring, nitrifikation og omdannelse af nitrit til nitrat osv.
• Gør rede for opbygningen af nitratelektroden, og diskuter dens virkemåde. Du kan for eksempel inddrage Le Chateliers princip i diskussionen. Du skal endvidere via elektrokemiske overvejelser udlede et udtryk for sammenhængen mellem potentialeforskel og nitratkoncentration.
• Gør kort rede for grundprincipperne i eksperimenterne og de(n) anvendte målemetode(r). Beskriv, hvordan du konkret bestemmer koncentrationen af nitrat i en vandprøve eller i et udtræk fra grøntsager.
• Bestem nitratindholdet i en prøve gentagne gange, og undersøg om måleusikkerheden på måledataene kan antages at stamme fra en normalfordeling. 
• Hvis det er relevant, kan du foretage tests på værdier der afviger markant fra de øvrige (outliers). Ved brug af Q-test kan du undersøge, om disse værdier skal kasseres.
• Du kan ved brug af t-test undersøge om vandprøver indeholder mindre nitrat end den maksimale grænseværdi og den anbefalede grænseværdi.

I det følgende gives et par eksempler på konkrete målinger og beregninger.

Eksempel 1: t-test på forskellige analysemetoder

Nitratindholdet i forskellige vandprøver bestemmes ved hjælp af to forskellige analysemetoder. Man ønsker nu at undersøge om der en systematisk forskel på de to metoder. Fem forskellige prøver måles med begge metoder:

Prøve	Metode 1	Metode 2	Differens
1	36.10	36.50	-0.40
2	6.30	6.20	0.10
3	1.50	0.90	0.60
4	1.60	1.60	0.00
5	64.00	63.20	0.80

Betegner vi diffenserne i den sidste søjle med $x_1,\dots,x_n$, hvor $n=5$, kan vi udregne gennemsnittet af differenserne:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}=0.22$$

og spredningen:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}{n-1}}=0.48$$

En nulhypotese ($H_0$) og en alternativ hypotese ($H_1$) opstilles:

$$H_0:\ \mu_{diff}=0$$

$$H_1:\ \mu_{diff}\neq 0$$

Dermed kan en teststørrelse (t-værdi) beregnes:

$$t=\frac{\mu_{diff}-0}{s/n}=\frac{0.22-0}{0.48/5}=1.02$$

Denne t-værdi sammenlignes nu med 95%-acceptområdet ved hjælp af passende software. Bemærk, at der er 4 frihedsgrader. Vi får $[t_{0.025}(4),t_{0.975}(4)]=[-2.776,2.776]$. Da den gennemsnitlige differens ($\bar{x}=0.22$) ligger inden for dette interval, kan nulhypotesen ikke afvises. Med andre ord kan der ikke påvises en forskel på de to målemetoder.

Eksempel 2: Dixons Q-test

En vandprøve er blevet analyseret for indholdet af nitrat med følgende resultater angivet i mg/L:

0.403, 0.410, 0.401, 0.380

Den sidste observation afviger markant fra de øvrige. Den betegner vi med $x_{suspekt}$. Vi vil undersøge om vi bør forkaste denne observation på baggrund af Dixons Q-test. Ved Dixons Q-test udregnes forholdet

$$Q=\frac{|x_{suspekt}-x_{nærmest}|}{x_{max}-x_{min}}$$

hvor $x_{nærmest}$ er den observation, der ligger nærmest den suspekte observation. I dette tilfælde fås

$$Q=\frac{|0.380-0.401|}{0.410-0.380}=0.70$$

Den kritiske $Q$-værdi svarende til et signifikansniveau på 95% findes ved hjælp af passende software til $Q_{0.95}(n=4)=0.85$. Den beregnede $Q$-værdi overstiger ikke den kritiske værdi, så den suspekte måling skal ikke forkastes. 

Variationsmuligheder

Projektet behøver ikke nødvendigvis at omhandle en kvantitativ analyse af nitrat i drikkevand eller grøntsager. Man kan for eksempel vælge at undersøge hvilken af to syntesemetoder, der giver det største udbytte, eller om indholdet af askorbinsyre i C-vitamintabletter fra to forskellige producenter er lige stort. Der er flere gode eksempler i materialerne nævnt nedenfor. Matematikdelen kan også varieres ved fx at gøre rede for de mindste kvadraters metode (funktioner af flere variable) eller en passende statistisk udgave af lineær regression (som i øvrigt både benyttes ved målinger med nitratelektrode og spektrofotometri).

Eksempel på problemformulering

• Gør rede for opbygningen af nitratelektroden, og forklar kortfattet hvordan denne benyttes til at bestemme nitratindholdet i icebergsalat.
• Beskriv nogle statistiske modeller og hypotesetest. Specifikt skal du beskrive normalfordelingen samt t- test, Q-test og $\chi^2$-test.
• Du skal tilrettelægge og gennemføre en eksperimentel bestemmelse af nitratindholdet i en almindelig og en økologisk icebergsalat. For hver salat gentages eksperimentet mellem 5 og 10 gange.
• Med udgangspunkt i forskellige statistiske tests efter eget valg skal du undersøge og diskutere målemetodens måleusikkerhed, og hvorvidt nitratindholdet i de to salater er forskelligt.

Materialer

Askaa, Gerd: "Statistik på laboratoriet", Polyteknisk Forlag, 2004 (Normalfordelingen: p. 29-30; Test af hypoteser om gennemsnit: p. 38-50, p. 61-75, Usikkerhedsoverslag: p. 79-85). 

Clausen, Flemming; Printz, Poul; Schomacker, Gert: "Sandsynlighedsregning og statistik", Munksgaard, 1990.

Jessen, Claus; Møller, Peter; Mørk, Flemming: "Tal, statistik og sandsynlighedsregning", Gyldendal, 1994.

Hansen, Jens Pilegaard; Jensen, Hans Christian Kjeldgård; Anni: "KEMI H1", FAG, 1989 (Ionselektive elektroder: p. 239-240; Spektrofotometri: p. 225-228).

Hansen, Vagn m.fl.: "Matematik og modellering med matematik", Gyldendal, 2000.

Hansen, Jens Pilegaard; Jensen, Hans Christian; Kjeldgård, Anni: "KEMI ØVELSER MH", FAG, 1989 (Måling af nitratkoncentration med nitratfølsom elektrode: p. 111 (Journalforsøg 19)). 

Mejer, Henning: "Anvendt statistik", Teknisk Forlag A/S,1982 (Statistiske tests: p.67-115; Usikkerhedsregning: p. 137-150). 

Mygind, Helge. "Kemi 2000 – A-niveau 1 & 2", Haase & Søns Forlag, 2000 (Elektrokemi:  52-55²,  59-61²,  63-66²,  68-70²; Målinger  med  nitratelektrode: 287-289¹; Spektrofotometri: 290-293¹). 

http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html (Om mindste kvadraters metode).

https://en.wikipedia.org/wiki/Nitrate (Om nitrat).

http://da.wikipedia.org/wiki/Nitrit (Om nitrit).

http://csrg.ch.pw.edu.pl/tutorials/ise (Karakteristik og konstruktion af ionselektrive elektroder).