SRP i matematik og musik om det gyldne snit

Introduktion

Kan man sætte ”smuk” musik på formel? Det gyldne snit er begreb der dukker op i forskellige strukturer inden for fx matematik og kunst, men også i naturen. Det er dog også et begreb der til tider er blevet misforstået og misbrugt. Dette projekt handler om det gyldne snit i relation til musik, og i projektet belyses bl.a. spørgsmålet om forholdet mellem struktur og tilfældighed.

GyldentSnit

Projektbeskrivelse

Projektet kan fx tage sit udgangspunkt i konstruktionen af det gyldne snit $\Phi$ med passer og lineal som beskrevet i Euklids Elementer. Desuden kan Fibbonaci-tallene inddrages. Betegnes det $n$'te Fibbonaci-tal med $F_n$, kan det fx bevises at forholdet $F_n/F_{n+1}$ konvergerer mod $\Phi$ for $n\to\infty$. Endvidere kan det bevises at $\Phi$ er et irrationalt tal, og  der kan udledes en direkte formel som udtrykker $F_n$ ved $\Phi$ og $-\Phi$.   

De matematiske begreber kan fx bringes i spil i en analyse af første sats i Beethovens 5. symfoni. Kan der findes gyldne snit eller Fibonacci-tal her? Hvis ja, kan det diskuteres om dette er bevidst eller ubevidst. Alternativt kan der arbejdes med første sats af Bartóks Musik for strygere, slagtøj og celesta som beskrevet nærmere nedenfor.

Musik kan deles op i hvid (stokastisk) og brun (deterministisk) musik. Hvor ligger musik, der er komponeret med gyldne snit? Hvor meget struktur kan der være, før musik ikke længere er ”smuk”? Der kan fx fokuseres på Mozarts terningmusik.

Projektet kan også inddrage Joseph Schillingers system samt diskussion af Fibonacci-tallenes brug her. Dette kan ske i forbindelse med en kort analyse af George Gershwins Porgy og Bess eller Glen Millers Måneskinsserenade.  

En analyse af et klassisk værk vil typisk kunne bestå af overvejelser vedrørende:

  • Genre og instrumenter: Hvilken slags musik er der tale om? Hvilken instrumentering?
  • Melodi/tema: En undersøgelse af gennemgående motiver og fraser. Hvilken karakter har stykket?
  • Satsopbygning: Polyfoni/homofoni, fugerende elementer.
  • Form: fx ABA-form, ritornel-form, bueform, rondo, variationsformer, sonateform etc.
  • Harmonik/tonalitet: funktionsharmonik/atonalitet.
  • Klang: instrumenteringen kan give en bestemt klang.
  • Rytmik/metrik: fx fast 3/4- eller 4/4-rytme eller fri rytme.
  • Perspektivering: Hvilken sammenhæng indgår musikken i fx i forhold til samfundet eller til komponistens udvikling?
Bartok: Musik for strygere, slagtøj og celesta 

Bartok studerede folkemusikken fra Østeuropa intenst. Derfor vil det være oplagt at lokalisere harmoniske motiver eller fraser med folkemusikalsk præg i satsen, ligesom rytmikken i satsen bør ses i dette perspektiv. Det vil også være interessant at analysere den kvintskridtsekvens, der bærer værket, og sætte denne i forhold til stykkets form og dynamik. Det er særligt i forbindelse med en formanalyse at Fibonacci-tallene og det gyldne snit kan bringes på banen. Værket er på 89 takter og har et kæmpemæssigt klimaks i takt 55, hvor man nærmest kan finde en spejlingsakse gennem stykket. Denne akse deler stykket gyldent i 55 og 34 takter.  Percussioninstrumenterne sætter ind i takt 34. Det er naturligvis også interessant at diskutere, hvorvidt disse fænomener er tilfældige, eller om de er planlagte formskabende elementer. Er der eksempelvis konkrete vidnesbyrd på at Bartok har beskæftiget sig med fibonacci-tallene? 

Her følger nogle flere eksempler på komponister/stykker der kan analyseres gennem brug af Fibonacci-tal/gyldne snit:

Materialer 

Frandsen, Jesper: "De(t)gyldne snit og Fibonaccital", Systime, 2004.

Livio, Mario: "Det Gyldne Snit", Nyt teknisk forlag, 2006.

http://mathematics.dk/matilde/arkiv/ (Mathilde nummer 26 og 28).