SRP i matematik og musik om fraktaler

Introduktion

I dette projekt undersøges fraktalers brug i musik med udgangspunkt i Per Nørgårds arbejde med såkaldte uendelighedsrækker i sine værker fra slutningen af 60’erne og frem. Matematisk set undersøges hvorledes de komplekse tal kan benyttes til at beskrive fraktaler som Mandelbrot- eller Juliamængder. Musikfaget bidrager med en undersøgelse af hvordan uendelige strukturer kan optræde i et musikalsk værk som del af en satsanalyse. 

Fraktal

Projektbeskrivelse

Matematikken i projektet drejer sig særligt om komplekse tal, og hvordan de komplekse tal kan danne fraktaler. I den kontekst er en fraktal en delmængde af den komplekse plan. Man kan eksempelvis arbejde med Julia- og Mandelbrotmængdens konstruktion og inddrage begreber som iterative systemer, fikspunkter, præfikspunkter, baner og kaosteori. Det musikfaglige perspektiv kan tage udgangspunkt i den historiske baggrund og motivation (60’ernes fokus på bevidsthedsudvidelse) for Nørgårds arbejde med uendelighedsrækker i sin musik.

Målet med projektet er at opnå forståelse for brugen af fraktalteori som "kompositionsalgoritme”. I arbejdet med uendelighedsrækkens fraktale træk opnås forståelse for essentielle begreber som selv-similaritet: rækken er sig selv i større og mindre målestok - både i enkeltstemmen og indenfor større instrumentgrupper. Det er her oplagt at komme ind på en klanglig analyse og kaos: små ændringer i begyndelsesværdien giver store ændringer i rækken.

Nørgårds værker fra 1967-1980 er præget af de hierarkiske systemer, og man vil sandsynligvis kunne finde mange værker, der er velegnede til analyse værk i forhold til form, harmonik, dynamik, metrik etc. Her kan bl.a. nævnes:

  • Rejsen ind i den gyldne skærm (1968)
  • 2. Symfoni (1970)
  • 3. Symfoni (1976)
  • Drømmesange (1981)

Den ambitiøse elev kunne give eksempler på Nørgårds begreber: melodiske, harmoniske og rytmiske uendelighedsrækker, mens den mindre ambitiøse vil kunne fokusere på en enkelt af disse. 

Desuden kan nævnes Arvo Pärt, Martin Bresnick, György Ligeti og Conlon Nancarrow, som alle er komponister, der benytter sig af lignende algoritmer i deres kompositioner. 

Elever der ønsker at arbejde med mere avanceret matematik, kan inddrage sætninger om komplekse tal fx fra Jesper Frandsens bog (se nedenfor). Det vil ligeledes være et interessant matematisk spørgsmål, hvorvidt Nørgårds uendelighedsrække gentager sig efter at have gennemløbet et vist (enormt) antal toner. 

Materialer

Bisgaard, Lars: "Per Nørgårds 2. Symfoni – en rejsebeskrivelse I og II", Dansk Musiktidsskrift, 49. årgang, nr. 2 og 3, 1974/75, Det unge Tonekunstnerselskab, 1974. 

Cramon, Carsten: "Fraktaler – del og helhed", Dansk Musiktidsskrift, 64. årgang, nr. 4, 1989-90, Foreningen DMT, 1989-90 (Temaet for dette nummer var fraktaler i musikken.

Falck, Jørgen: "Rejsen ind i den gyldne skærm", Per Nørgård artikler 1962-1982. Redigeret af Ivan Hansen. Udgivet af Ivan Hansen, 1982.

Frandsen, Jesper: "Komplekse tal og fraktaler", 1. udgave, Systime, 1992.

Holten, Bo & Hansen Kåre: "Rejsen ind i den gyldne skærm – en analyse af Per Nørgårds værk i to satser for kammerorkester", Dansk Musiktidsskrift, 46. årgang, nr 9-10, Wilhelm Hansen, 1971. 

Jensen, Jørgen I.: "Nogle indfaldsveje til Canon", Per Nørgård, artikler 1962-1982. Redigeret af Ivan Hansen. Udgivet af Ivan Hansen,1982.

Jensen,  Jørgen  I.: "Per Nørgårds musik, et  verdensbillede i forandring", Forlaget Amadeus, 1986.

Kullberg, Erling: "Den hierarkiske musik – en introduktion til Per Nørgårds kompositionsteknik omkring midten af 70’erne"Dansk Musiktidsskrift, 52. årgang, nr. 3, 1977-78. Det unge Tonekunstnerselskab, 1978.

Thor A. Bak: "Per Nørgårds uendelighedsrække", Mangfoldighedsmusik. Omkring Per Nørgård, Redigeret af Jørgen I. Jensen, Ivan Hansen og Tage Nielsen, Gyldendal, 2002.