SRP i matematik og musik om tolvtonemetoden

Introduktion

Tolvtonemetoden blev skabt i 1920'erne af Arnold Schönberg. Metoden bygger på det princip at alle tolv halvtoner i en oktav ligestilles og tillægges den samme betydning. Dette står i modsætning til musik hvor én bestemt tone (eller toneart) er styrende for det pågældende værk. Schönbergs metode var således et oprør mod den gældende orden, og den udgør en interessant del af musikhistorien. Matematisk set benytter metoden sig af gruppeteori, særligt permutationer.

12Tone-noder

Projektbeskrivelse

Som en introduktion til basal gruppeteori kan projektet tage udgangspunkt i restklasser. Eksempelvis kan transponering inden for en fastholdt oktav ses som regning med restklasser modulo 12. I den forbindelse kan der eventuelt redegøres for relationer og ækvivalensrelationer. Blandt andre relevante begreber i gruppeteorien kan nævnes:

  • Definitionen af en gruppe
  • Gruppetavle
  • Entydighed af neuralt og inverst element
  • Abelske grupper (fx Kleins Vier-gruppe).
  • Elementers orden
  • Cykliske grupper
  • Diedergrupper
  • Permutationsgrupper
  • Cykler
  • Homomorfier og isomorfier

Man kan vælge at gå mere eller mindre i dybden med forskellige gruppeteoretiske sætninger, og nedenfor angives nogle muligheder. Henvisningerne refererer til "Matematik 2AL - Algebra" af Anders Thorup (se nedenfor).

  • Cykelsætningen (GRP 2, s. 59).
  • $C_n\times C_m$ er cyklisk, hvis og kun hvis $n$ og $m$ er indbyrdes primiske (GRP 3, s. 76).
  • Lagranges indekssætning (GRP 4, s. 79).
  • Struktursætningen er for endelige abelske grupper (GRP 6, s. 104). Beviset er måske for krævende, men man kunne fx arbejde med at finde alle abelske grupper der er isomorfe med fx $C_{12}$.

Tolvtoneteknikken behandler som nævnt alle halvtoner ens, dvs. afstanden (eller rettere frekvensforholdet) mellem dem er $\sqrt[12]{2}$. Vi kan identificere halvtonerne inden for en oktav med mængden $\{1,2,3,\dots,12\}$. Herved forstås at tonen C svarer til tallet 1, C# svarer til 2 etc. Komponisten vælger en række, dvs. en liste der indeholder tallene fra 1 til 12. En sådan række kan fx være

\[
2,5,8,4,1,7,10,3,12,11,6,9
\]

Rækken kan ses som en permutation af mængden $\{1,2,3,\dots,12\}$, dvs. et element i permutationsgruppen $S_{12}$. Rækken - eller med andre ord permutationen - giver en  musiksekvens hvor alle tolv halvtoner hver især spilles én gang. Permutationen kan udtrykkes i cykelnotation og endvidere skrives som et produkt af disjunkte cykler:

\[
(2\ 5\ 8\ 4\ 1\ 7\ 10\ 3\ 12\ 11\ 6\ 9)=(1\ 2\ 5)(3\ 8)(4)(6\ 7\ 10\ 11)(9\ 12)
\]

Bemærk, at når en halvtone er blevet spillet, må den ikke spilles igen førend alle de andre toner i rækken er blevet spillet. Rækken varieres gennem forskellige operationer:

  • Krebs: rækken spejles horisontalt.
  • Omvending: rækken spejles vertikalt.
  • Omvendingskrebs: rækken spejles både horisontalt og vertikalt.
  • Transponering: alle toner rykkes en halvtone op (modulo 12).

Ved at kombinere disse permutationer på den valgte række fås i alt 48 rækker. Disse bruger komponisten så som fundament i sit værk. Der er valgfrihed om tonernes varighed og i hvilken rækkefølge de 48 rækker spilles. Nabotoner kan desuden også spilles samtidigt. ”Harmonien” i værket opstår altså ikke som i tonal musik, hvor tonerne står i forhold til en bestemt grundtone. I stedet står passager i forhold til startrækken, og således er ingen af de tolv toner vigtigere end de andre. 

Matematikken og musikfaget kan bringes i samspil ved at analysere, hvilke grupper der svarer til krebs, omvending osv.  

Som et musikfagligt perspektiv kan der redegøres for den musikhistoriske kontekst i 1920'erne, og der kan eventuelt drages paralleller til serialisme. Desuden kan samtidens reaktion på Schönbergs metode beskrives og diskuteres, og det samme gælder for metodens relevans i dag.

Materialer

Olsen, Bent: "Fra Platon til Stockhausen", Munksgaard, 1975.

Thorup, Anders (1): “Matematik 2AL - Algebra”, Københavns Universitet, 2007. PDF-udgave: thorup-algebra.pdf (specielt afsnittene TAL 1-6, GRP 1-3 og 5 samt SYM 1-4).

http://mathematics.dk/fileadmin/Files/DMF/Matilde/Matilde_28.pdf (Det matematiske grundlag for den udvidede tolvtonemetode + Musikk og kjedebrøker). To artikler fra tidsskriftet Matilde. Musikeksempler fra artiklen findes i mp3-format på http://mathematics.dk/matilde/arkiv/ under Matilde 28. 

https://homepages.abdn.ac.uk/d.j.benson/pages/html/music.pdf (Music: A Mathematical Offering). Online-version af bog om matematik musik. Se specielt Kapitel 9 om symmetri i musik. Indeholder opgaver til inspiration for vejlederen.