Studieretningsprojekt i matematik og historie om Cuba-krisen

Introduktion

Den kolde krig betegner perioden fra 1948 til 1989, hvor USA og USSR i kølvandet på 2. Verdenskrig havde delt en stor del af verden i hver deres interessesfære og holdt hinanden fast i en magtbalance. Da begge parter i tilfældea fåben konflikt kunne gøre ubodelig skade på hinanden, sørgede begge parter for, at der ikke kom åben konflikt - deraf navnet den kolde krig. USA havde allerede ved afslutningen af 2. Verdenskrig i Hiroshima og Nagasaki vist verden at de havde atomvåben, mens USSR foretog sine første prøvesprængninger i 1949. Derefter byggede magtbalancen mellem de to lande på muligheden for atomkrig. Som udgangspunkt havde ingen af parterne langtrækkende atomvåben, der kunne krydse fra kontinent til kontinent, og de var derfor afhængige af at kunne stille våben op i lande nær modstanderen, hvis de skulle kunne ramme modstanderen umiddelbart. Det var dette, der skete under Cuba-krisen, hvor USSR havde stillet atommissiler op på Cuba. Et amerikansk rekognosceringsfly opdagede dette, og det bekræftedes for den amerikanske præsident Kennedy den 14. oktober 1962. Herefter skulle Kennedy og hans administration finde ud af, hvordan de ville svare på denne forskydning i magtbalancen. Den konservative fløj ønskede et hurtigt luftangreb mod missilerne, men præsidenten selv var bange for, at dette kunne føre til modangreb og i sidste ende atomkrig. I stedet iværksattes en blokade for de skibe, der sejlede yderligere materiel mod Cuba, samt et pres på USSR, for at få dem til at fjerne de opstillede missiler - blandt andet ved at true med værre sanktioner. I løbet af de tolv dage, der fulgte efter den 14. oktober, balancerede USA og USSR (og verden) på kanten af en atomkrig, men det endte med at USSR overholdt blokaden og fjernede de opstillede missiler mod at USA fjernede deres missiler i Tyrkiet.

MissilCubaKrise

Kan teorien om matematiske spil anvendes som et redskab i udenrigspolitik? I projektet undersøges USA’s og USSR’s beslutning om at starte eller ikke at starte en væbnet konflikt under Cuba-krisen med udgangspunkt i spilteori. Beslutningsprocesserne kan beskrives både som simultant-træk-spil og sekventielt-træk-spil, og løsningsmulighederne til disse spil bestemmes ved hjælp af spiltræer og spilmatricer. Deltagerne i konflikten vil betragtes som rationelle aktører, og deres ønske om udkom samt deres mulige tab skal beskrives. På baggrund af en beskrivelse af aktørernes viden på beslutningstidspunktet og ved brug af de opstillede matematiske spil, skal det vises hvad parternes rationelle beslutning vil være.

Projektbeskrivelse

Dette oplæg har til formål at inspirere til studieretningsprojekter i matematik og historie om Cuba-krisen eller andre historiske konflikter samt teorien om matematiske spil. Eftersom matematiske spil hurtigt kan blive komplicerede, vil dette oplæg primært omhandle elementære sider af denne matematiske disciplin. Det er en fordel at have nogenlunde engelskkundskaber, da det meste litteratur om emnet er på engelsk.

For at opnå en sammenhængende og velstruktureret opgave, hvor matematikken og historien indgår side om side, kan lærerne vælge at vedlægge eventuelle opgaver i matematik om spilteori som bilag til opgaveformuleringen, og disse skal så løses og vedlægges i et appendiks til opgaven. Projektet kan blandt andet indeholde:

en redegørelse for de udenrigspolitiske beslutninger, der ledte til Cuba-krisen. Der foretages en systemafgræsning, og med udgangspunkt i teori om matematiske spil opstilles spillet Cuba-krisen.
en redegørelse for motivationen for netop at benytte matematiske spil som model for beslutningsprocesserne i Cuba-krisen, samt en gennemgang af begreberne nyttefunktion (værdifunktion), information, træer og matricer, Nash-ligevægt og zero-sum. Begreberne kan forklares ved brug af konkrete eksempler.
en diskussion på baggrund af den opstillede matematiske model for hvorvidt de beslutningsprocesser, der blev foretaget under Cuba-krisen, var rationelle set i lyset af teorien om matematiske spil, og om de var i overensstemmelse med spillets løsning. Derudover kan det diskuteres om beslutningerne gav bedste payoff for aktørerne, dvs. var aktørerne fuldstændigt rationelle? Derkan foretages en modelkritik på baggrund af det historiske forløb, dvs. teorien om matematiske spils begrænsninger samt mangler i forhold til at beskrive Cuba-krisen kan diskuteres.
en redegørelse for at Cuba-krisen som simultant-træk-spil og sekventielt-træk-spil har samme løsning.

Variationsmuligheder

Matematiske spil kan også anvendes på en lang række andre historie krigssituationer. Et godt eksempel er slaget i Bismarckhavet. Under kampen om New Guinea under 2. Verdenskrig fik USA information om, at japanerne ville sende en troppe- og forsyningskonvoj fra Rabaul på New Britain til Lea på New Guinea. Konvojen kunne sejle enten nord om New Britain, hvor man kunne være sikker på dårlig sigtbarhed, eller syd om øen, hvor man kunne forvente klart vejr. I begge tilfælde ville rejsen have en varighed på 3 dage.

Den amerikanske general Kenney havde valget mellem at koncentrere rekognosceringsflyvene på den nordlige eller sydlige rute. Når først konvojen var opdaget, ville den blive bombet resten af vejen til Lea. Kennys mandskab antog følgende resultat af de forskellige valg målt i antal bombedage:

		Japans valg
		Nordlig rute	Sydlig rute
USA’s valg	Nordlig rute	2	2
USA’s valg	Sydlig rute	1	3

Både japanerne og Kenney valgte den nordlige rute, og konvojen blev opdaget kun en dag efter afsejlingen med svære tab til følge. Kombinationen nordlig rute-nordlig rute er et såkaldt saddelpunkt og dermed løsning til spillet. De valgte altså begge den optimale strategi. Japanernes tab skyldtes således ikke deres strategi, men deres beslutning om at sende en konvoj afsted med mulighed for at blive opdaget.

Eksempel

Lad os betragte to spillere, A og B. Spiller A har to forskellige handlemåder eller strategier, nemlig a₁ og a₂. Tilsvarende har spiller B to forskellige strategier, nemlig b₁ og b₂. De to spillere skal vælge deres strategi uden kendskab til den anden spillers strategi. Spillets såkaldte normalform eller matrixform ser da således ud:

		Spiller B
		b₁	b₂
Spiller A	a₁	(3,3)	(2,4)
Spiller A	a₂	(4,2)	(1,1)

hvor et talsæt (x,y) betegner spiller A’s payoff (nytte) henholdsvis spiller B’s payoff, og 4 er bedst og 1 er dårligst. Spillet har to Nash ligevægte, nemlig (4,2) og (2,4). For disse strategier kan hverken spiller A eller spiller B opnå et bedre payoff givet den anden spillers valg.

Lad nu spiller A være USA og spiller B være USSR. Lad endvidere strategierne a₁ og a₂ betegne blokade henholdsvis luftangreb og b₁ og b₂ betgene tilbagetrækning henholdsvis opretholdelse. Da Cuba-krisen kan betragtes som et spil med fuld information, bør spillet gå mod et ligevægtspunkt. Hvis for eksempel USA har første træk bør spillet gå mod (4,2). Spillet har imidlertid ikke nogen af de to Nash ligevægte som løsning i praksis, eftersom spillerne ikke kan betragtes som fuldstændigt rationelle, dvs. de vil ikke nødvendigvis vælge den strategi, der giver dem maksimal payoff. USA kan altså ikke regne med at USSR vil vælge at trække sig, hvis USA vælger et luftangreb, selvom udkommet for Sovjet ved at trække sig ville blive 2, mens det ved at forsvare missilerne kun ville blive 1. Dette skyldes, at der er en trussel om irrationalitet med i spillet, og denne trussel er en af de vigtige spilteoretiske pointer i den kolde krig. For kunne enten USA eller USSR regne med at modparten var fuldstændig rationel og aldrig ville besvare et første angreb - og derved starte en atomkrig - kunne den ene part jo let udføre dette første angreb. På den anden side måtte heller ingen af parterne opfatte modparten som værende så irrationel, at denne kunne starte en atomkrig når som helst. I så fald ville det jo være smart at slå først med en chance for at ramme vitale anlæg. Der måtte altså fra begge parters side foreligge en trussel om, at de muligvis kunne være passende irrationelle.