Frie forskningsmidler til talteori og kombinatorik

Danmarks Frie Forskningsfond giver midler til nybrudsskabende og originale forskningsidéer på tværs af alle videnskabelige forskningsområder. I år kan 222 forskere sætte gang i ny og vigtig forskning med udgangspunkt i deres egne allerbedste idéer. Et par af disse projekter er her fra instituttet.

Den frie forskningsstøtte er meget eftertragtet. Ansøgningerne til DFF-forskningsprojekter 1og 2 har en succesrate på 14 procent.

Kombinatoriske strukturer

Lektor Joachim Kocks DFF-forskningsprojekt1 har titlen ”Signs in Homotopy Combinatorics”. Han beskriver det således:
”De elementære aritmetiske operationer med naturlige tal, såsom addition, multiplikation og eksponentiering, er blot skygger af mere fundamentale operationer med endelige mængder, nemlig disjunkt forening, cartesisk produkt, og funktionsmængder. Det er interessant at udføre så mange konstruktioner som muligt med endelige mængder i stedet for tal, fordi mængdeoperationerne kan karakteriseres ved universelle egenskaber og kan bære yderligere struktur, hvilket ikke er muligt på tal-niveau.

Projektet søger at besvare det grundlæggende spørgsmål: hvilke kombinatoriske objekter svarer til negative tal?
Hvilke mængde-lignende objekter kan siges at have et negativt antal elementer? Ligesom negative tal kan betragtes som ren abstraktion, er ideen at udføre en lignende abstraktion på objekt-niveau. Løsningen skal søges i kategori-teori, den generelle matematiske teori om strukturer, hvor objekter karakteriseres efter, hvordan de relaterer til hinanden snarere end hvad de "er". Ved at analysere de nødvendige kategoriske egenskaber ved endelige mængder og de mekanismer der fører til negative tal (især i disciplinerne kombinatorik og homotopi-teori), er målet syntetisk at skabe en koherent teori for "mængder med fortegn", og påvise hvordan elementær kombinatorik kan udøves i den ramme. En sådan teori vil have store anvendelsesmuligheder overalt i matematikken hvor kombinatoriske strukturer spiller sammen med negative størrelser.”

Bevillingen vil finansiere to års forskning og ansættelsen af en postdoc.

Analytisk talteori

Lektor Jasmin Matz og professor Morten S. Risager kalder deres DFF-Forskningsprojek2 for ”Correlations, arithmetic, and periods”. DFF beskriver det således:

”Talteori er en af de ældste dele af matematikken, og forsøger at forstå de mest fundamentale egenskaber ved heltallene og deres generaliseringer. I dens moderne form er det et aktivt og fascinerende fagområde med anvendelser i kryptografi, datalogi, og forskellige dele af matematisk fysik, som for eksempel i kvantefysikken og spekulative dele af streng-teorien.
Talteorien består af forskellige del-discipliner: analytisk, algebraisk og additiv talteori, og flere andre. Disse forskellige dele af talteorien interagerer med hinanden og andre dele af matematikken. Talteoriens centrale placering i det matematiske landskab illustreres fx ved at to ud af fire Fields-medaljer (en af de mest prestigefyldte priser i matematik) i 2022 blev givet inden for talteori.

Dette projekt forsøger at udvide vores grundviden inden for analytisk talteori ved at forsøge at forstå nogle fundamentale objekter i teorien om automorfe former kaldet perioder. Mere specifikt forsøger vi at forstå, hvordan disse perioder korrelerer med forskellige oscillerende funktioner. Hvis vi lykkes med dette vil det have en række anvendelser inden for klassiske grundvidenskabelige spørgsmål i talteorien, samt potentielt i andre områder som fx i effektiviteten af bestemte kvanteteoretiske algoritmer.”

Bevillingen vil finansiere ansættelsen af to ph.d.-studerende og en postdoc.