Mindeord om Bent Fuglede

Bent Fuglede  (8.10.1925 - 7.12.2023) efterlader sig sin søn og svigerdatter Einar og Dorthea og deres to voksne sønner. Bents hustru Ólafia Einarsdóttir gennem mere end 60 år døde i 2017.

Bent blev student fra Skt. Jørgens Gymnasium i 1943, og han blev i 1948 mag. scient. og cand. mag. ved Københavns Universitet. Efter ansættelse som videnskabelig assistent ved Den Polytekniske Læreanstalt var han lektor ved Matematisk Institut på Københavns Universitet, indtil han efter disputatsen ”Extremal Length and Closed Extensions of Partial Differential Operators” blev udnævnt til professor ved Danmarks Tekniske Højskole i 1960. Han kom tilbage til Københavns Universitet som professor i 1965. Han startede med at udarbejde fremragende forelæsningsnoter til Matematik 6, det store kursus i funktionalanalyse, der afsluttede første del af cand. scient. studiet i matematik. I årene der fulgte, underviste han på alle niveauer, altid med en klar og gennemarbejdet fremstilling og med en let læselig tavleskrift. Hans ledsagende forelæsningsnoter indeholdt ofte nye resultater og elegante beviser. I 1992 lod han sig pensionere, men fortsatte som aktiv forsker og professor emeritus ved Institut for Matematiske Fag og var aktiv indtil kort før sin død.

I årene 1949-51 var Bent på studieophold i USA og opholdt sig dels ved Stanford University og dels ved Institute for Advanced Study i Princeton. Det var under opholdet i Stanford i November 1949, at "Fugledes Sætning" blev kommunikeret af John von Neumann til Proceedings of the National Academy of Sciences. Det blev den første af Fugledes mange sætninger, som har været med til at gøre ham internationalt kendt. Dette vel nok mest berømte af hans resultater siger, at hvis en begrænset operator på et Hilbertrum kommuterer med en normal operator, så kommuterer den også med den adjungerede operator. Det er et overraskende dybt resultat, som i dag indgår i alle avancerede lærebøger om operatorer på Hilbertrum.

Under opholdet ved Institute for Advanced Study startede Bent samarbejde med den amerikanske matematiker Richard V. Kadison om bl.a. determinantteori i uendelig dimension. Dette førte til, at Kadison kom til København, og han fik en livslang tilknytning til Danmark, da han mødte sin hustru her. At dette har haft meget stor betydning for operatoralgebras stærke stilling ved vores Institut er værd at minde om. Fuglede-Kadison determinanten finder fortsat anvendelser, og er bl.a. benyttet af Lück i hans udvikling af $L^2$-cohomologi, og udnyttet i konstruktionen af Brown-målet for ikke-normale operatorer.

Efterfølgende kastede Bent sig over partielle differentialoperatorer, og det førte til den allerede nævnte doktordisputats og derefter til studier over potentialteori. Denne teori omhandler løsningerne til Laplaces ligning, altså harmoniske funktioner, Newton potentialer osv. I dette emne blev han hurtigt en ledende skikkelse på verdensplan, og han var jævnligt foredragsholder i potentialteori seminaret i Paris, "Séminaire Brelot-Choquet-Deny", opkaldt efter de tre ledende franske matematikere i emnet. Brelot og hans elever havde i 1960'erne udviklet en abstrakt potentialteori kaldet harmoniske rum. Et harmonisk rum er et lokalkompakt topologisk rum, hvor der for hver åben delmængde er specificeret et vektorrum af kontinuerte reelle funktioner, som skal modellere de harmoniske funktioner i åbne mængder af et euklidisk rum. Brelot havde opstillet nogle få simple fundamentale axiomer, som disse abstrakte rum skulle opfylde, for at man kunne slutte de fleste af potentialteoriens nøgleresultater i denne abstrakte ramme. Betydningen af den abstrakte teori var, at kiggede man på løsningsrummene til partielle differentialligninger beslægtede med Laplace operatoren, så kunne man også for disse opnå den klassiske potentialteoris nøgleresultater ved blot at eftervise axiomerne.

I harmoniske rum kan man som i klassisk potentialteori indføre superharmoniske funktioner, men som i den klassiske teori er disse ikke altid kontinuerte, men kun nedad halvkontinuerte. Henri Cartan havde i 1940 fået ideen at erstatte den klassiske euklidiske topologi med en topologi med flere åbne mængder, så superharmoniske funktioner nu blev kontinuerte. Cartan kaldte denne nye topologi den fine topologi. Den fine topologi optræder også i teorien for Brownske bevægelser og lignende stokastiske processer, fordi en fint åben mængde kan karakteriseres ved følgende: Hvis processen befinder sig i den fint åbne mængde til et tidspunkt $t_0$, så forbliver den i mængden et positivt tidsrum næsten sikkert.

Da det lykkedes Bent at vise, at den fine topologi er sammenhængende og lokalt sammenhængende og dernæst at udnytte dette til at konstruere, hvad han kaldte ”fint harmoniske funktioner i fint åbne mængder”, blev det startskuddet på en ny epoke i potentialteori og kompleks analyse. Bent udgav en større fremstilling af teorien i en Springer Lecture Notes: ”Finely Harmonic Functions”, 1972, men allerede ved den Internationale Matematikerkongres (ICM) i Nice, 1970, var han inviteret foredragsholder derom.

Emnet blev ”hot” og videreudviklet de følgende år af Bent selv og med bidrag af mange andre. Bent oplevede den store ære, at Heinz Bauer's plenarforedrag om potentialteori ved ICM i Vancouver, 1974, i stor udstrækning handlede om Fugledes fint harmoniske teori.

Ligesom harmoniske funktioner i planen er tæt relateret til holomorfe funktioner, lykkedes det Bent at udvikle en righoldig teori for fint holomorfe funktioner i fint åbne mængder af den komplekse plan. Det viste sig oven i købet, at Fugledes teori var en naturlig videreførelse af Borels teori for ”monogene funktioner”, som blev udgivet som monografi i 1917.

Fugledes arbejder inspirerede en række unge matematikere fra udlandet til nye resultater, bl.a. Terry Lyons (England) og Bernt Øksendal (Norge). Gennem hele sin karriere korresponderede Bent med utallige matematikere fra ind- og udland, og han var altid gavmild med råd og forbedringer til manuskriptudkast. Han havde en sjælden evne til at trænge ind til kernen i et matematisk problem, og derigennem var han ofte i stand til at give en overraskende løsning på problemet.

I 1974 skrev Bent et arbejde i Journal of Functional Analysis: ”Commuting self-adjoint partial differential operators and a group theoretic problem”. Det har i dag 298 citationer. Arbejdet, der var inspireret af et spørgsmål af Irving Segal, sammenknytter en geometrisk egenskab ved et $n$-dimensionalt område $G$ med en egenskab ved Hilbert rummet $L^2(G)$. Resultatet er senere kendt som Fuglede's Conjecture. Den danske matematiker Steen Pedersen fra Ohio har publiceret en række arbejder om emnet og senere har Fieldsmedalje-modtageren Terence Tao publiceret to arbejder: ”Fuglede's Conjecture holds for convex planar domains” (2001) og ”Fuglede's Conjecture is False in 5 and higher dimensions” (2003).

Bent besluttede at lade sig pensionere i foråret 1992. Han følte et lidt svigtende helbred efter et års ophold ved Institute for Advanced Study i Princeton, hvor han var ledsaget af Ólafia. Heldigvis viste helbredet sig at være fint, og Bent opnåede en emeritus periode på ca. 30 år, hvor han var meget aktiv. Ud af de 114 af hans arbejder, der er nævnt i Math. Sci. Net, er ca. 40 skrevet efter at han blev emeritus. I denne periode ydede han vægtige bidrag til mange forskellige problemstillinger, bl.a. isoperimetriske uligheder, Riemannske mangfoldigheder og moment problemer. Det skal også nævnes, at han udgav en forskningsmonografi sammen med James Eells: ”Harmonic maps between Riemannian Polyhedra”, Cambridge Tracts in Mathematics vol. 142, 2001. Sammen med Natalia Zorii fra Kyiv har han siden 2016 skrevet 8 arbejder omhandlende energiproblemer med hensyn til Riesz kerner, en imponerende præstation når man er mere end 90 år.

Bent var medlem af Kgl. Danske Videnskabernes Selskab, Det Finske Videnskabsakademi og Det Bayriske Videnskabsakademi.

Ved pensioneringen fejrede instituttet ham med et symposium. Jeg havde den glæde at fortælle om Bents matematiske resultater, og der var foredrag af gæster fra en række lande. Dansk Matematisk Forening fejrede Bents 70-års fødselsdag og udnævnte ham til æresmedlem. I en årrække var han medredaktør ved Expositiones Mathematicae.

Med sin store og brede viden indenfor mange områder af matematikken var han et oplagt medlem af bedømmelsesudvalg i ind- og udland. Han har derigennem haft stor indflydelse på, hvordan Matematisk Institut har udviklet sig.

Fuglede medvirkede til at bringe udenlandske kapaciteter til Instituttet for et år, bl. a. Masanori Kishi (Nagoya) og Mikhail Sodin (Kharkiv), begge specialister i potentialteori. Deres ansættelser har haft stor betydning for min egen forskning, og Sodin har efterfølgende været en jævnlig gæst og foredragsholder ved Instituttet.

Alle teorier har sin tid og glider derefter i baggrunden, således også den abstrakte teori for harmoniske rum. Fugledes teori for fint harmoniske funktioner var formuleret i Brelot's abstrakte teori. Det var derfor svært for nye generationer at udnytte og værdsætte Fugledes teori, og derfor fremhævede Sodin med jævne mellemrum, at Bent burde skrive en ny fremstilling af teorien for fint harmoniske funktioner, men kun i tilknytning til den klassiske potentialteori.

Det lykkedes Sodin at overbevise Bent om projektet, og han gik igang med at udarbejde et manuskript, som skulle indeholde resultaterne af hans arbejde om klassisk fin potentialteori udarbejdet mellem 1970 og 2010. Bent havde gennem mange år korresponderet med den marokkanske matematiker Mohamed El Kadiri om potentialteori og inviterede ham til samarbejde om bogprojektet "Classical Fine Potential Theory". De blev enige om at arbejde sammen og besluttede samtidig at udvide projektet til at inkludere teorien for fint holomorfe funktioner i en og flere variable samt resultater om fin pluri-potentialteori. De besluttede også at inkludere deres seneste fælles forskningsresultater om Martin rand for fint åbne mængder. I slutningen af oktober blev det færdige manuskript sendt til Springer Nature.

Det matematiske samfund kan se frem til, at denne fine afslutning på Bent Fugledes karriere skal udkomme.

Æret være hans minde.

Christian Berg, 27.12.2023.