Vidste du ... at der er 915103765 muligheder?

LEGO-klodser er et af de største fænomener inden for legetøj der nogensinde har været; men også matematisk set er de interessante fordi de rejser nogle spændende kombinatoriske problemer:

Hvis man vil finde antallet af måder, som 6 almindelige 2x4-klodser kan sættes sammen på, så skal man først og fremmest finde kombinationsmulighederne. 2 almindelige 2x4-klodser kan sættes sammen på følgende måder:

Bemærk, at kun de blå kombinationer er unikke. Hver af de resterende bygninger kan roteres sådan at den bliver mange til en af de andre, og den slags par skal ikke tælles med begge gange. Dermed er der i alt 2 + 44/2 = 24 gyldige kombinationer. For at lave et tårn med 3 klodser, kan man vælge 2 af disse kombinationsmuligheder: Den første viser, hvordan den mellemste klods skal sidde fast på den nederste, og den anden viser, hvordan den øverste skal sidde fast på den mellemste. På samme måde, skal man vælge 5 kombinationsmuligheder for at bygge et tårn af højde 6. Det kan man gøre på 2^5+(46^5-2^5)/2=102.981.504 forskellige måder. Vi er dog ikke færdige endnu, for denne fremgangsmåde giver ikke alle de mulige bygninger. For eksempel bliver den venstre bygning ikke talt med, fordi der er mere end en klods i et af lagene:
Vi kan få fat i alle bygningerne uden at tælle nogle af dem flere gange ved at se på hvilken højde de har fra 2 til 6. Nedenstående skema viser hvor mange muligheder der er for hver tårnhøjde, og det samlede antal muligheder:

Dermed er der næsten en milliard kombinationsmuligheder med bare 6 LEGO-klodser, og det ser måske nemt ud, når man ser oversigten, men det kræver et avanceret computerprogram at tage højde for symmetrien og finde tallene. Selve udregningen tager nogle minutter på en moderne computer. Til sammenligning kan 7 almindelige 2x4-klodser sættes sammen på 85.747.377.755 måder. Her tager det et par dage at udregne tallet.

Det er klart, at mange af disse kombinationer ville vælte, hvis man prøvede at bygge dem, så næste skridt på området kunne være at finde antallet af bygninger, som kan stå af sig selv.

Skulle du ønske at læse mere, så besøg A LEGO Counting problem .